Primary Theory of Geometry
গণিতশাস্ত্র ও তার মুখ্য ভাগ (Mathematics and its Main Parts) :
Mathematics (গণিতশাস্ত্র) is divided mainly into following three parts :
Arithmetic (পাটিগণিত)
Algebra (বীজগণিত)
Geometry (জ্যামিতি)
(1) পাটিগণিত (Arithmetic) : Arithmetic is a branch of mathematics that deals with simple counting, especially the properties of the traditional operations on – addition, subtraction, multiplication and division.
The word ‘arithmetic’ came from the Greek word “arithmos”, which means “number”.
পাটিগণিতে বিভিন্ন গাণিতিক সমস্যা / বিষয় / উক্তি ইত্যাদিকে ‘যোগ’, ‘বিয়োগ’, ‘পূরণ’ ও ‘ভাগ’ (+, –, ×, ÷) ইত্যাদি প্রক্রিয়ার মাধ্যমে সম্পাদন করা বা সমস্যার সমাধান করা হয়। এখানে কোন নির্দিষ্ট ‘প্রতীক’ বা আক্ষরিক সংখ্যা (literal number) ব্যবহার করা হয় না।
এখানে, বিভিন্ন সমস্যার সমাধানে সাধারণত কোন সূত্র (formula) ব্যবহার করা যায় না।
(2) বীজগণিত (Algebra) : Algebra is one of the broad parts of mathematics, together with number theory, geometry and analysis. It is the study of mathematical symbols and the rules for manipulating these symbols.
‘Algebra’ came from the Arabic word, ‘al-jabr’ literally meaning “reunion of broken parts”.
“Abu Ja’far Muhammad ibn Musa al-khwarizmi” is the father of algebra (9th Century).
বীজগণিত গণিতশাস্ত্রের একটি বিশাল শাখা।
(i) বীজগণিতে বিভিন্ন গাণিতিক সমস্যাকে সমীকরণে প্রকাশ করে এবং বিভিন্ন অজানা (অজ্ঞাত) সংখ্যাকে বিশেষ প্রতীকি সংখ্যার মাধ্যমে উপস্থাপন করে দেখাতে পারি।
(ii) বীজগণিত হ’ল আসলে বিভিন্ন প্রকারের প্রক্রিয়া চিহ্ন, সংখ্যা নির্দেশক অক্ষর বা প্রতীকের অর্থবোধক বিন্যাস।
(iii) প্রয়োজনানুসারে বিভিন্ন সূত্রাবলী / সমীকরণ / উক্তি ইত্যাদির সমন্বয়ে গাণিতিক সমস্যার সমাধান ও সম্পাদন করে থাকি।
(3) জ্যামিতি (Geometry) : Geometry is a branch of mathematics concerned with questions of shape, sizes, relative position of figures and the properties of space.
‘Geometry’ came from the ancient Greek word ‘Geo’ = earth and ‘Metron’ = measurement.
যে গাণিতিক সমস্যার সমাধানে চিত্রের আশ্রয় নেওয়া হয় তাহাকে সাধারণত জ্যামিতি বা ক্ষেত্রমিতি বলা হয়।
History of Geometry (জ্যামিতির সংক্ষিপ্ত ইতিহাস) :
Father of Geometry is Euclid (জ্যামিতির জনক হলেন ‘ইউক্লিড’)
ইউক্লিডের স্বতঃসিদ্ধ (axioms) ও স্বীকার্যের (postulates) উপর ভিত্তি করে আজকের উপপাদ্য (theorem) এবং সমপাদ্য (problems)-গুলি প্রমাণ করা হয়।
প্রাচীনকালে মিশরীয়রা নীলনদের পারের জমির ভাঙ্গন সীমা মাপার জন্য প্রথম জ্যামিতির ব্যবহার করেছিল। পরবর্তীতে তারা শস্যভাণ্ডারের শস্যের পরিমাণ মাপা, খাল-বিলের গভীরতা এবং সবশেষে পিরামিড তৈরীতে ও জ্যামিতির ব্যবহার করেছিল।
ভারতীয় উপমহাদেশে হরপ্পা এবং মহেঞ্জোদারোর খননকার্যে (সিন্ধু উপত্যকায়) প্রায় 3000 A.D. জ্যামিতির ব্যাপকভাবে প্রচলন ঘটে। সিন্ধু উপত্যকার সভ্যতার দিকে লক্ষ্য করলে বুঝা যায় (রাস্তা-ঘাট, জল নিষ্কাশন ব্যবস্থা, কক্ষ ইত্যাদি) যে, সিন্ধু উপত্যকার মানুষেরা পরিমিতি এবং ব্যবহারিক পাটিগণিতে খুবই নিপুণ ছিল।
প্রাচীন ভারতে ‘সুলবা সূত্র’ (Sulbasutras) ছিল জ্যামিতি বিষয়ক চিত্র অংকনের হস্তসাধিত গ্রন্থ।
‘বৈদিক যুগে’ ধর্মীয় অনুষ্ঠানের জন্য অগ্নিকুণ্ড নির্মাণ থেকে জ্যামিতির উৎপত্তি হয়েছিল বলে জানা যায়। পবিত্র অগ্নিকুণ্ড (sacred fires) কিভাবে হবে / কোথায় হবে / এর আকার আকৃতি কিরকম হবে (বর্গাকার, বৃত্তাকার না ত্রিভুজাকার) ইত্যাদি মতান্তরেও জ্যামিতি ব্যবহৃত হয়।
‘অথর্ব বেদে’ শ্রীযন্ত্র (Sri Yantra) যার নয়টি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ থাকে এবং এর ভেতর আরো 43টি সহকারী ত্রিভুজ থাকত। — এই গোটা বিষয়গুলির মূল কেন্দ্রবিন্দু ছিল জ্যামিতিক। কিন্তু বিষয়গুলির উপর কিরূপ জ্যামিতিক পদ্ধতির ব্যবহার ঘটত সেগুলি তখন অনেকে বুঝে উঠতে পারে নি বা এগুলির উপর খুব বিস্তারিত আলোচনা হয় নি। আসলে তখন ঐ সম আকার-আকৃতি বা সুষম মাপ-জোখ গুলো পরম মোক্ষলাভের জন্য মেনে নেওয়া হত।
‘ব্যবলিন সভ্যতায়’ জ্যামিতির ব্যবহারিক দিক ছিল কিন্তু কোথায় কোনটি প্রয়োগ করতে হবে সেটা জানা ছিল না।
‘মিশরীয়রা’ ব্যবহারিক কার্যে জ্যামিতির প্রয়োগ করত কিন্তু প্রণালী বদ্ধ ভাবে তার কোন উন্নয়ন করতে পারে নি। কিন্তু ‘গ্রীকরা’ বিশেষকরে নির্মাণকার্যে জ্যামিতির ব্যবহার করত। জ্যামিতির অধ্যয়ন যুক্তির মধ্যে নির্ধারণ করত এবং এর সত্যতা ও যুক্তিনির্ভর তথ্য ও সম্বন্ধ উদ্ঘাটন করতে পেরেছিল।
সর্বপ্রথম যুক্তিসহকারে জ্যামিতির তথ্য প্রমাণ করেন গ্রীক পণ্ডিত Thales (থেলস্) 572 B.C. প্রমাণিত তথ্যটি ছিল, “একটি বৃত্ত ব্যাস সাপেক্ষে প্রতিসম ” অর্থাৎ বৃত্তটি ব্যাস বরাবর সমদ্বিখণ্ডিত হয়। আর থেলসে্র famous student ‘পিথাগোরাস’ এভাবে অসংখ্য জ্যামিতিক তথ্য ও উপপাদ্যের বিকাশ সাধন করেন। যার অনেকটা আমরা বর্তমানে জ্যামিতিতে ব্যবহার করি।
তৎকালীন গ্রীসের এক গণিত শিক্ষক যার নাম Euclid (ইউক্লিড), জ্যামিতি বিষয়ক তথ্য নিয়ে একটি গ্রন্থ লিখেন যার নাম the ‘Elements’, এতে 13-টি অধ্যায় রয়েছে এবং তেরোটি অধ্যায়ই এতো বৃহৎ যে, প্রতিটি অধ্যায় এক-একটি বই হিসেবে প্রকাশ পেয়েছে। সম্পূর্ণ বিশ্বে Euclid-এর এই জ্যামিতির বইটি সমানভাবে গ্রহণযোগ্যতা লাভ করেছে। আজ আমরা জ্যামিতির যাকিছু তথ্য-সূত্র / উপপাদ্য-সমপাদ্য / স্বীকার্য-স্বতঃসিদ্ধ পড়ি এগুলো এই ‘Elements’ প্রবন্ধ থেকে সংগৃহীত। প্রায় জ্যামিতির 99%-ই (‘Euclid’s-Geometry’) “ইউক্লিডীয়-জ্যামিতি”।
Basic Element of Geometry (জ্যামিতিক মৌল)
(a) বিন্দু : কেবলমাত্র অস্তিত্ব আছে যার।
(b) রেখা : দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী।
(c) রেখাখণ্ড : একটি সীমাবদ্ধ রেখাকে উভয়দিকে ইচ্ছামত বর্ধিত করিলে।
বিন্দুর কয়েকটি বৈশিষ্ট্য নিম্নরূপ :
☞ একটি বিন্দুকে আর বিভক্ত করা যায় না।
☞ বিন্দুর কেবলমাত্র অবস্থান আছে কোন পৃষ্ঠতল বা আয়তন নেই।
☞ একটি রেখার প্রান্তভাগ হলো বিন্দু।
☞ একটি রেখাকে নির্দিষ্ট করতে দুটো বিন্দুর আবশ্যক।
রেখার কয়েকটি বৈশিষ্ট্য নিম্নরূপ :
☞ যেকোন একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে অসংখ্য রেখা অংকন করা যায়।
☞ কিন্তু যেকোন দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি অদ্বিতীয় (unique) সরলরেখা অংকন করা যায়।
☞ যদি একটি সরলরেখা দুটি সরলরেখার ওপর পতিত হয়, তাহলে ছেদকের একই পার্শ্বে দুটো অন্তঃকোণ উৎপন্ন হয়, তাদের মাপের সমষ্টি যদি দুই সমকোণের কম হয় তবে, রেখা দুটোকে বর্ধিত করিলে এক সময় এরা মিলিত হয়ে যায়।
☞ রেখার কোন প্রস্থ নেই, কেবলমাত্র দৈর্ঘ্য রয়েছে।
☞ রেখা অসংখ্য বিন্দুর সমষ্টি।
প্রান্ত বিন্দু : যে বিন্দু হইতে একটি রশ্মি আরম্ভ হয়, সেই বিন্দুকে রশ্মিটির প্রান্ত বিন্দু বলা হয়।
Euclid-এর যাবতীয় জ্যামিতিক ধর্মকে নীচের প্রধান তিনটি ভাগে ভাগ করা যায়।
স্বতঃসিদ্ধ বা স্বীকার্য (Self-evident) : সুস্পষ্ট ভাবে সার্বজনীন সত্য। এগুলো প্রমাণিত নয়।
উপপাদ্য বা প্রতিজ্ঞা (Theorem) : যুক্তিযুক্ত ও বিভিন্ন প্রণালীর দ্বারা প্রমাণিত / সত্যতা প্রমাণ করা যায়।
সমপাদ্য (Problem) : অংকন করে প্রমাণ করা।
Euclid-এর কয়েকটি স্বতঃসিদ্ধ (Axioms) :
(i) একই বস্তুর সমান বস্তুগুলো পরস্পর সমান হবে।
(ii) যদি সমান সমান বস্তুর সঙ্গে একই মাপের বস্তু যোগ করা হয়, তাহলে বস্তু গুলি পরস্পর সমান হবে।
(iii) যদি সমান সমান বস্তু থেকে একই মাপের বস্তু বিয়োগ করা হয়, তাহলে অবশিষ্ট বস্তুগুলি পরস্পর সমান হবে।
(iv) একটি বস্তুকে ওপর একটি বস্তুর ওপর উপরিপাতন করিলে যদি বস্তু দুটি সমপাতিত (Coincide) হয়, তাহলে তারা পরস্পর সমান হবে।
(v) সমস্ত বস্তুটি তার যেকোন অংশ থেকে বৃহত্তর।
(vi) একই মাপের দুটো বস্তু দ্বিগুণ করলে, তারা পরস্পর সমান হয়।
(vii) একই মাপের দুটো বস্তুকে অর্ধেক করিলে বাকি অর্ধেক বস্তুদ্বয় পরস্পর সমান হয়।
Euclid-এর পাঁচটি স্বীকার্য (Postulates) :
Theorem–1 : যেকোন একটি বিন্দু থেকে অপর যেকোন একটি বিন্দু পর্যন্ত একটি মাত্র সরলরেখা অংকন করা যায়।
Theorem–2 : একটি সীমাবদ্ধ রেখাকে উভয়দিকে বর্ধিত করা যায়।
Theorem–3 : যেকোন কেন্দ্র এবং যেকোন ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত অংকন করা যায়।
Theorem–4 : সমকোণ সমূহ পরস্পর সমান।
Theorem–5 : যদি একটি সরলরেখা দুটো সরলরেখার ওপর পতিত হয়, তাহলে বাহুটির ছেদকের একই পার্শ্বে যে দুটো অন্তঃকোণ উৎপন্ন হয়, তাদের মাপের সমষ্টি যদি দুই সমকোণের কম হয়, তবে রেখা দুটোকে বর্ধিত করতে থাকলে এক সময় ঐ রেখাটির যে দিকে একটি বিন্দু মিলিত হবে সেদিকে একই পার্শ্বস্থ কোণ দুটির মাপের সমষ্টি দুই সমকোণের কম হবে।
ইউক্লিডীয় উপপাদ্যের উদাহরণ (Example of a Theorem) :
একটি রেখার ওপর P, Q এবং R তিনটি বিন্দু অবস্থিত এবং Q, P এবং R এর মধ্যে আছে। প্রমাণ কর যে, PQ + QR = PR
Euclid-এর চতুর্থ স্বতঃসিদ্ধ থেকে পাই, একটি বস্তুকে অপর একটি বস্তুর ওপর উপরিপাতন করিলে যদি সমপাতিত হয় তাহলে তারা পরস্পর সমান। সুতরাং PQ + QR = PR, প্রমাণিত।
সমপাদ্যের একটি উদাহরণ (Example of a Problems) :
প্রমাণ কর যে, একটি প্রদত্ত রেখাখণ্ডের ওপর একটি সমবাহু ত্রিভুজ অংকন করা যায়।
এখানে ইউক্লিডের “স্বীকার্য-3” ব্যবহার করে P-কে কেন্দ্র করে এবং PQ-কে ব্যাসার্ধ ধরে একটি বৃত্ত চাপ অংকন করা হয়েছে। অনুরূপভাবে, Q-কে কেন্দ্র করে এবং QP-কে ব্যাসার্ধ ধরে আরেকটি বৃত্ত চাপ অংকন করা হয়েছে। চাপদ্বয় R বিন্দুতে ছেদ করেছে। এখন PR এবং QR রেখাখণ্ডদ্বয় অংকন করিলে ∆PQR সমবাহু ত্রিভুজ পাওয়া যাবে।
সুতরাং PQ = PR = QR, কারণ ইহারা একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ……… (1) ∵
আবার, PQ = QR, কারণ ইহারাও একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ……… (2)
অতএব, (1) এবং (2) থেকে পাই PQR একটি সমবাহু ত্রিভুজ। প্রমাণিত।
এভাবে Euclid তার স্বতঃসিদ্ধ, স্বীকার্য ও সংজ্ঞা প্রয়োগ করে 465-টি উপপাদ্য বা প্রতিজ্ঞা প্রমাণ করেছিলেন।
আকার, আকৃতি (Concept and understanding of different sizes) :
নীচের টেবিলে বিভিন্ন প্রকার জ্যামিতিক আকার আকৃতি বিশিষ্ট কিছু বস্তু ও পদার্থের উদাহরণ দেওয়া হলো (The following table shows some examples of objects and materials with different types of geometric shapes) :
জ্যামিতিক সরঞ্জামগুলোর নাম ও ইহাদের ব্যবহার (The name of some Geometrical instrument and their uses) :
রেখা, রেখাখণ্ড ও রশ্মি (Line, Line Segment and Ray) :
রেখা দুই প্রকার :-
(i) সরলরেখা (Straight Line) : যে রেখা সোজাসুজি চলে, একই সমান রেখা।
(ii) বক্ররেখা (Curve Line) : যে রেখা সোজাসুজি চলে না, আঁকাবাঁকা ভাবে থাকে।
সমান্তরাল সরলরেখা (Parallel Straight Line) : একই সমতলে থাকা দুটি সরলরেখাকে উভয়দিকে ইচ্ছামত বাড়ালে যদি রেখাদ্বয় কোন দিকেই একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে গিয়ে মিলিত না হয় তাহাকে সমান্তরাল সরলরেখা বলে।
PQ রেখা এবং MN রেখাখণ্ড পরস্পর সমান্তরাল।
সমান্তরাল সরলরেখার বৈশিষ্ট্য :
☞ সমান্তরাল সরলরেখার উভয়দিকেই রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব সমান থাকে, কোথাও কমিবে না কোথাও বাড়িবে না।
☞ রেল লাইনকে সমান্তরাল সরলরেখার উদাহরণ স্বরূপ নেওয়া যায়।
☞ কোন বিন্দু হইতে একটি সরলরেখার উপরে যতগুলি রেখাখণ্ড টানা যায়, তাহার মধ্যে লম্বই সর্বাপেক্ষা ছোট।
ছেদক / ভেদক (Transversal) : একটি সরলরেখা দুই বা ততোধিক সরলরেখাকে কোন নির্দিষ্ট বিন্দুতে ছেদ করিলে সেই রেখাটিকে ছেদক অথবা ভেদক বলা হয়।
এখানে, অনুরূপ কোণ : <1, <5 | <4, <8 | <2, <6 | <3, <7
একান্তর কোণ : <3, <5 | <4, <6
বিপ্রতীপ কোণ : <1, <3 | <2, <4 | <5, <7 | <6, <8
☞ একটি সরলরেখা অপর দুটি সরলরেখাকে ছেদ করিলে যদি একজোড়া অনুরূপ কোণ সমান হয় তবে সরলরেখা দুটি সমান্তরাল হইবে (উপরের চিত্র থেকে পাই)।
অনুরূপভাবে, (i) যদি একজোড়া একান্তর কোণ সমান হয়। (ii) ছেদকের এক দিকে অন্তঃকোণ দুইটির সমষ্টি দুই সমকোণের সমান হয়। তবে সরলরেখা দুইটি সমান্তরাল হইবে।
☞ সমান্তরাল সরলরেখা কাটাকাটি করে না। “দুইটি কাটাকাটি করা সরলরেখা উভয়ে অপর একটি তৃতীয় সরলরেখার সমান্তরাল হইতে পারে না।” (প্লফেয়ারের স্বতঃসিদ্ধ)।
এখানে, (i) এবং (ii) কোনটিই পরস্পর সমান্তরাল নয়।
ছেদক দ্বারা উৎপন্ন কোণ :
কোণ ও কোণের প্রকার (Angle — Type of Angle) :
কোণ (Angle) : দুইটি সরলরেখার কোন একটি দিকের বিন্দু যদি পরস্পর মিলিত হয় তবে একটি কোণের সৃষ্টি হয়।
An angle describes how much two lines that meet at a point are separated from each other.
তিনটি অসমরেখীয় বিন্দু একত্রিত হয়ে একটি কোণের সৃষ্টি হয়।
তিনটি সমরেখীয় বিন্দুও একটি কোণ উৎপন্ন করিতে পারে এবং তিনটি সমরেখীয় বিন্দু সর্বদা একটি সরলকোণ উৎপন্ন করে।
কোণ প্রধানতঃ তিন প্রকার (Classification of angles according to size) :
সূক্ষকোণ (Acute Angle) : 90° থেকে ছোট মাপের কোণকে সূক্ষকোণ বলে। (An angle between 0°— 90°, but less than 90° is called Acute Angle.)
সমকোণ (Right Angle) : 90° মাপের কোণকে সমকোণ বলা হয়। (An angle formed by the intersection of two perpendicular lines, and each angle of exactly 90° is called Right Angle.)
অন্যভাবে বললে, একটি সরলরেখাকে যদি অন্য একটি সরলরেখা পরস্পর লম্বভাবে ছেদ করে তবে, ছেদ বিন্দুর চতুর্দিকে যে কোণগুলি উৎপন্ন হয়, তাদের এক একটি কোণকে সমকোণ বলে। (এক সমকোণ= 90°)
স্থূলকোণ (Obtuse Angle) : 90° থেকে বড় কিন্তু 180° থেকে ছোট মাপের কোণকে স্থূলকোণ বলে। (An angle that is more than 90° but less than 180° is called Obtuse Angle.)
(i) সরলকোণ (Straight Angle) : 180° মাপের কোণকে সরলকোণ বলে। এক সরলকোণ = দুই সমকোণ (An angle of one hundred and eighty degrees. / An Straight Angle is a figure formed by two rays, lies in a plane.)
(ii) প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex Angle) : দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ হইতে ছোট মাপের কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে। এই কোণকে প্রত্যবর্তী কোণ ও বলা যায়। (An angle greater than 180° but less than 360° is called Reflex Angle.)
(iii) চক্রীয় কোণ / বৃত্তস্থ কোণ / কেন্দ্রীয় কোণ (Revolution) : যদি কোন একটি সরলরেখা অপর একটি সরলরেখাকে লম্বভাবে ভেদ করিলে যে একটি ছেদ বিন্দু পাওয়া যায়, তাহার চারিদিকে চারটি সমকোণ পাওয়া যায় এবং ছেদ বিন্দুতে তখন 360° কোণ উৎপন্ন হয়। একেই চক্রীয় কোণ বা কেন্দ্রীয় কোণ বলে। (The complete rotation of angle equal to 360°)
Classification of Angles according to their relationships with other angles:
অন্তস্থ কোণ (Interior Angles) : কোন বহুভুজের ভিতর দিকে উৎপন্ন কোণ গুলিকে অন্তস্থকোণ বলে (Angle formed inside a polygon is called Interior Angle. The sum of the interior angles of a triangle is 180°.)
বহিস্থ কোণ (Exterior Angles) : কোন বহুভুজের বাহিরের দিকে যেকোন একটি বাহুকে বর্ধিত করিলে যে কোণ পাওয়া যায়, তাহাকে বহিস্থ কোণ বলে। (Angle formed outside a polygon between one side and the adjacent side extended.)
সন্নিহিত কোণ (Adjacent Angles) : যদি দুটি কোণের একটি সাধারণ বাহু থাকে এবং একটি সাধারণ শীর্ষবিন্দু থাকে তবে, একটি কোণকে অপর কোণের সন্নিহিত কোণ বলে। (Either of two angles having a common side and a common vertex is called Adjacent Angles.)
সন্নিহিত কোণগুলি পূরক বা সম্পূরক হতে পারে।
(a) পূরক কোণ (Complementary Angles) : যদি দুটি সন্নিহিত কোণের মানের সমষ্টি এক সমকোণ বা 90° হয় তবে, একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে। (Two angles which add up to 90°. One angle is said to be the complete of the other.)
(b) সম্পূরক কোণ (Supplementary Angles) : যদি দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি 180° বা দুই সমকোণ হয় তবে, একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে। (Two angles which add up to 180° is called Supplementary Angles.)
(c) বিপ্রতীপ কোণ (Vertically Opposite Angles) : যদি দুটি সরলরেখা পরস্পর ছেদ করিলে যে চারটি কোণ উৎপন্ন হয় এদের যেকোন একটিকে তার বিপরীত কোণের বিপ্রতীপ বলে। (Vertically Opposite Angles are formed when two straight lines intersect. The angles are formed at the point of intersection and are opposite each other.)
(d) অনুরূপ কোণ (Corresponding Angles) : দুটি সমান্তরাল সরলরেখাকে অপর একটি সরলরেখা ছেদ করিলে, ছেদকের একই দিকে (পাশে) যে কোণ উৎপন্ন হয় তাহাকে অনুরূপ কোণ বলা হয়। অনুরূপ কোণগুলি পরস্পর সমান হয়। (Corresponding angles lies on the same side of the transversal one inside and other outside. Corresponding angles are equal.)
(e) একান্তর কোণ (Alternate Angles) : দুটি সমান্তরাল রেখাকে অপর একটি রেখা তির্ষকভাবে ছেদ করিলে, ছেদক রেখার বিপরীত পাশে সমান্তরাল রেখা যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে একান্তর কোণ বলে। একান্তর কোণগুলো পরস্পর সমান হয়। (Alternate angles are lie within the transversal // lines and each is on either side of the transversal. Alternate angles are equal.
নীচের চিত্রে কয়জোড়া পূরক কোণ ও কয়জোড়া সম্পূরক কোণ রয়েছে লিখ।
ত্রিভুজ ও ত্রিভুজের ধরন বা প্রকার (Triangle and Type of Triangle) :
ত্রিভুজ (Triangle) : তিনটি বাহুর দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে ত্রিভুজ বলে। (A triangle is a three-sided closed figure).
ত্রিভুজের কয়েকটি ধর্ম (Characteristics of a triangle) :
একটি ত্রিভুজে সর্বদা তিনটি বাহু ও তিনটি কোণ থাকে।
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের মাপের সমষ্টি 180° বা দুই সমকোণ হয়।
একটি ত্রিভুজের যেকোন দুটি বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল (সমষ্টি) তৃতীয় বাহুর চেয়ে সর্বদা বৃহত্তর।
একটি ত্রিভুজের যেকোন বাহু বর্ধিত করিলে উৎপন্ন হওয়া বহিঃস্থ কোণ, দূরবর্তী অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান হয়।
একটি ত্রিভুজের দুটি বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহুর উপরে টানা মধ্যমা (লম্ব)-এর দ্বিগুন থেকে বড়।
একটি ত্রিভুজের সবচেয়ে ছোট কোণের সম্মুখস্থ (বিপরীত) বাহুটিও ছোট হয় এবং বৃহত্তম কোণের সম্মুখস্থ বাহুটিও বৃহত্তর হয়।
একটি ত্রিভুজের লম্ব (উন্নতি) তিনটির সমষ্টি ত্রিভুজটির পরিসীমা থেকে ছোট হয়।
একটি সমকোণী ত্রিভুজের কর্ণের ওপর অঙ্কিত বর্গ, পার্শ্ববাহু দুটির ওপর অঙ্কিত বর্গের যোগফলের সমান।
ত্রিভুজের প্রকার (Classification of Triangle) :
বাহু হিসাবে ত্রিভুজ তিন প্রকার – (i) সমবাহু ত্রিভুজ (ii) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (iii) বিষমবাহু ত্রিভুজ।
কোণ হিসাবে ত্রিভুজ তিন প্রকার – (i) সমকোণী ত্রিভুজ (ii) স্থূলকোণী ত্রিভুজ (iii) সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ।
সমবাহু ত্রিভুজ (Equilateral Triangle) : যে ত্রিভুজের তিনটি বাহু একই সমান, সেই ত্রিভুজটিকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে।
(A triangle with three equal sides and three equal angles).
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (Isosceles Triangle) : যে ত্রিভুজের যেকোন দুটি বাহু একই সমান, সেই ত্রিভুজটিকে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ বলে।
(A triangle with two equal sides and two equal angles). The word ‘isosceles’ comes from Latin word and means “equal legs”
বিষমবাহু ত্রিভুজ (Scalene Triangle) : যে ত্রিভুজের প্রতিটি বাহু ভিন্ন ভিন্ন মাপের (পরস্পর অসমান), সেই ত্রিভুজটিকে বিষমবাহু ত্রিভুজ বলে।
(A triangle with three sides of different lengths and three angles of different measures).
সমকোণী ত্রিভুজ (Right Angled Triangle) : যে ত্রিভুজের একটি কোণ সমকোণ অর্থাৎ 90° হয়, তবে সেই ত্রিভুজটিকে সমকোণী ত্রিভুজ বলে।
(A right-angled triangle is a triangle with one of the angles as 90°).
স্থূলকোণী ত্রিভুজ (Obtuse Triangle) : যে ত্রিভুজের একটি কোণ স্থূলকোণ অর্থাৎ 90° থেকে বড় কিন্তু 180° থেকে ছোট হয়, সেই ত্রিভুজটিকে স্থূলকোণী ত্রিভুজ বলে।
(An obtuse triangle is a type of triangle whose one of the vertex angles is bigger than 90° and the sum of the other two angles is less than 90°). The side opposite to the obtuse angle is considered the longest.
সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ (Acute Triangle) : যে ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ সুক্ষ্মকোণ অর্থাৎ 90° থেকে ছোট, সেই ত্রিভুজটিকে সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ বলে।
(Acute triangle is a type of triangle where all three interior angles are acute angles or less than 90°).
অতিভূজ (Hypotenuse) : সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণের বিপরীত বাহুটিকে ত্রিভুজটির অতিভূজ বলে। (The side opposite to the right angle is the largest side and is referred to as the hypotenuse.)
চতুর্ভুজ (Quadrilateral) : চারিটি সরলরেখার দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে চতুর্ভুজ বলে।
A quadrilateral is a closed shape and a type of polygon that has four sides, four vertices and four angles.
The sum of interior angles of quadrilaterals is always equal to 360°.
চতুর্ভুজের প্রকার (Types of Quadrilateral) :
আয়ত (Rectangle) : যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলি পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণ গুলি সমকোণ তাহাকে আয়ত বলে।
(A rectangle is a four-sided polygon in which the opposite sides are parallel and equal to each other.)
বর্গ (Square) : যে চতুর্ভুজের চারিটি বাহু একই সমান ও প্রতিটি কোণ সমকোণ তাহাকে বর্গ বলে।
(A square is a two-dimensional plane figure with four equal sides and all the four angles are equal to 90°.)
সামন্তরিক (Parallelogram) : যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলি পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলি সমকোণ নয় তাহাকে সামন্তরিক বলে।
(A parallelogram is a quadrilateral with two pairs of parallel sides. The opposite sides of a parallelogram are equal in length, and the opposite angles are equal in measure.)
Also, the interior angles on the same side of the transversal are supplementary.
রম্বাস (Rhombus) : যে চতুর্ভুজের চারিটি বাহু সমান কিন্তু কোণগুলি সমকোণ নয় তাহাকে রম্বাস বলে।
(A rhombus is a quadrilateral with four equal sides. Its opposite sides are parallel, and opposite angles are equal).
ট্র্যাপিজিয়াম (Trapezium) : যে চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল কিন্তু সমান নয় তাহাকে ট্রেপিজিয়াম বলে।
(A trapezium is a convex quadrilateral with exactly one pair of opposite sides parallel to each other.)
The parallel sides of a trapezium are called bases and the non-parallel sides of a trapezium are called legs.
Kite★ : A kite has various names such as a dart or an arrowhead because of the shape. A kite has two pairs of equal-length sides and these sides are adjacent to each other.
Properties of Kite
The pair of adjacent sides of a kite are of the same length.
The largest diagonal of a kite bisects the smallest diagonal.
Only one pair of opposite angles are of the same measure.
The list of types of quadrilaterals are:
কর্ণ (Diagonal) : চতুর্ভুজের যে কোন বিপরীতমুখী কোণের সংযোগ রেখাকে কর্ণ বলে।
A diagonal is a line segment that connects two opposite vertices of the quadrilateral.
লম্ব (Perpendicular) : একটি সরলরেখার ওপর যদি আরও একটি সরলরেখা সোজাভাবে মিলিত হয় তাহাকে লম্ব বলে।
অথবা, যদি দুটি সরলরেখা পরস্পর পরস্পরকে ছেদ করে এবং তাদের মধ্যে উৎপন্ন কোণগুলো সমকোণ হয়, তবে একটি অপরটির লম্ব হয়।
Perpendicular means two lines or objects that intersect at a 90° angle, or right angle. The symbol for perpendicularity is ⟂.
বৃত্ত ও বৃত্তের বিভিন্ন অংশ (Circle and different parts of a circle) :
(a) বৃত্ত (Circle) : কোন রেখার গোলাকৃত ক্ষেত্রকে বৃত্ত বলে।
A circle is a closed two-dimensional figure in which the set of all the points in the plane is equidistant from a given point called “centre”.
বৃত্তের পরিধি ও কালির সূত্র:
Circumference of circle = 2π (radius) / 2.π.r
Area of circle = π (radius)² / π.r²
বৃত্ত আকৃতির বস্তু (Circle Shaped Objects)
There are some examples of circles are:
Ring
CD/Disc
Bangles
Coins
Wheels
Button
Dartboard
Hula hoop
(b) কেন্দ্র (Centre) : বৃত্তের মধ্যে স্থিত বিন্দুকে বৃত্তটির কেন্দ্র বলা হয়।
অথবা, বৃত্ত অঙ্কনের সময় কম্পাস যন্ত্রের স্থির বিন্দুকে বৃত্তের কেন্দ্র বলা হয়।
(It is the midpoint of a circle.)
(c) পরিধি (Circumference) : বৃত্তের গোলাকৃত সীমারেখাকে পরিধি বলে।
(d) ব্যাসার্ধ (Radius) : বৃত্তের কেন্দ্র থেকে পরিধির যে কোন একটি বিন্দু পর্যন্ত টানা রেখাখণ্ডকে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ বলা হয়।
অথবা, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে পরিধির একদিকে স্পর্শিত রেখাকে বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে।
Radius of a circle is the distance from the center of the circle to any point on its circumference. It is usually denoted by ‘R’ or ‘r’.
(A line segment connecting the centre of a circle to any point on the circle itself.)
(e) ব্যাস (Diameter) : বৃত্তের কেন্দ্রের মধ্য দিয়া টানা উভয়দিকে বৃত্তের পরিধিতে স্পর্শ করা রেখাখণ্ডকে বৃত্তের ব্যাস বলে।
অথবা, বৃত্তের কেন্দ্রের মধ্য দিয়া টানা বৃত্তের পরিধির যে কোন দুটি বিন্দু সংযোগকারী রেখাখণ্ডকে বৃত্তের ব্যাস বলা হয়।
The diameter of a circle is the length of the line starting from one point on a circle to another point and passing through the center of the circle. It is equal to twice the radius of the circle. It is usually denoted by ‘d’ or ‘D’.
(A line segment having both the endpoints on the circle and is the largest chord of the circle.)
Relation between Radius and Diameter :
Diameter = 2 x Radius or, 2.r
Radius = Diameter/2 or, d/2
Diameter is the longest chord of the circle.
(f) জ্যা (Chord) : বৃত্তের উপর যে কোন দুইটি বিন্দু সংযুক্ত করে যে রেখাখণ্ড পাওয়া যায় তাহাকে বৃত্তের জ্যা বলে।
(A line segment whose endpoints lie on the circle.)
(g) চাপ (Arc) : বৃত্তের পরিধির যে কোন দুই বিন্দুর সংযোগ রেখাকে চাপ বলে।
(Arc is basically the connected curve of a circle.)
(h) বৃত্তকলা (Sector) : বৃত্তের একদিকে একটি চাপ এবং অন্যদিকে একজোড়া ব্যাসার্ধের দ্বারা আবদ্ধ বৃত্তের অন্তর্ভাগের অঞ্চলটিকে বৃত্তকলা বলা হয়।
(A region bounded by two radii and an arc.)
(i) বৃত্তাংশ (Segment) : বৃত্তের অন্তর্ভাগে একটি জ্যা ও একটি চাপ দ্বারা গঠিত অঞ্চলটিকে বৃত্তের বৃত্তাংশ বলা হয়।
(A region bounded by a chord and an arc lying between the chord’s endpoints. It is to be noted that segments do not contain the centre.)
Sphere (গোলক) :
A sphere is a three-dimensional object that is round in shape. The sphere is defined in three axes, i.e., x-axis, y-axis and z-axis. This is the main difference between circle and sphere. A sphere does not have any edges or vertices, like other 3D shapes.
(The sphere is three dimensional solid, that has surface area and volume. Just like a circle, each point of the sphere is at an equal distance from the center.)
In the above figure, we can see a sphere with radius ‘r’.
Unlike a circle, which is a plane shape or flat shape, defined in XY plane, a sphere is defined in three dimensions, i.e. x-axis, y-axis and z-axis.
Shape of Sphere :
The shape of a sphere is round and it does not have any faces. The sphere is a geometrical three-dimensional solid having a curved surface. Like other solids, such as cube, cuboid, cone and cylinder, a sphere does not have any flat surface or a vertex or an edge.
Some examples of the sphere are:
Basketballs
World Globe
Marbles
Planets
Moon
Properties of a sphere :
The important properties of the sphere are given below. These properties are also called attributes of the sphere.
A sphere is perfectly symmetrical
A sphere is not a polyhedron
All the points on the surface are equidistant from the center
A sphere does not have a surface of centers
A sphere has constant mean curvature
A sphere has a constant width and circumference.
Equation of a Sphere :
In analytical geometry, if “r” is the radius, (x, y, z) is the locus of all points and (x0, y0, z0) is the center of a sphere, then the equation of a sphere is given by:
Sphere Formulas :
The common formulas of the sphere are:
Difference Between a Sphere and a Circle :
A circle and a sphere are shapes in geometry that appear the same, but are different in properties. The key differences between the two shapes are listed below in the table.
পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Theorem) :
“যে কোন সমকোণী ত্রিভুজের অতিভূজের ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (কালি) অন্য দুইটি বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।”
মনে করি, ABC একটি ত্রিভুজ। ইহার বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)² অতএব,
অতিভূজের ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = AC²
AB বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = AB²
BC বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = BC²
সুতরাং, পিথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী AC²=AB²+BC² প্রমাণিত।
Please Note: পিথাগোরাসের এই উপপাদ্যটি কেবল সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য।
Area of the Geometrical Figures :
বর্গক্ষেত্রের কালি / ক্ষেত্রফল : (বাহু)²
Area of a Square : (Side)²
আয়তক্ষেত্রের কালি : (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ)
Area of a Rectangle : (Length × Breadth) or, (L×B)
ত্রিভুজের কালি : ½ × ভূমি × উন্নতি বা উচ্চতা
Area of a Triangle : ½ × base × height or,
(½ × b × h)
ট্রেপিজিয়ামের কালি : ½ × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × উন্নতি
Area of a Trapezium : ½ × (a+b) × h
সামান্তরিকের কালি : (ভূমি × উন্নতি)
Area of a Parallelogram : (base × height) or, b×h
যেকোন চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল / কালি :
½ × কর্ণ × শাখালম্বের সমষ্টি
উপরের চতুর্ভুজটির কালি হবে :
½ × AC × (OB + PD)
এখানে, AC হচ্ছে চতুর্ভুজটির কর্ণ এবং OB ও PD বাহুদ্বয় হচ্ছে শাখা লম্ব।
রম্বাসের কালি : ½ × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
Area of a Rhombus : ½ × product of two diagonals
Perimeter of Geometrical figures :
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা : 2 (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা : 4 × একটি বাহুর দৈর্ঘ্য
ত্রিভুজের পরিসীমা : (বাহু + বাহু + বাহু)
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা : 3 × একটি বাহুর মাপ
সামান্তরিকের পরিসীমা : 2 × (সন্নিহিত বাহু একজোড়ার সমষ্টি)
চতুর্ভুজের পরিসীমা : বাহুগুলির যোগফল।
ট্রাপিজিয়ামের পরিসীমা: সবকটি বাহুর যোগফল।
Perimeter of Trapezium : Sum of all the sides = (AB + BC + CD + DA)
All rights reserved for MS-WORLD OF EDUCATION
It is a legal offense to copy any element of this site and use it in any other blog.
Comments
Post a Comment